#844 La Aplicabilidad de las Matemáticas Una Vez Más

Respuesta de Dr. Craig

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Es, en efecto, contingente que las matemáticas se apliquen o no al universo físico. La forma más sencilla de comprenderlo es reconocer que también es contingente la existencia misma de un universo físico. Podría no haber existido ningún fenómeno físico, ya que la creación es un acto de Dios, libre y, por lo tanto, contingente.

Pero incluso si existiera una realidad física, no es obvio que tuviera que ser matemáticamente descriptible. ¿No podría haber existido un caos? Nada menos que Albert Einstein lo creía. Él escribió:

«Se debería esperar un mundo caótico, incomprensible para la mente. Se podría (en efecto, se debería) esperar que el mundo esté sujeto a leyes solo en la medida en que lo ordenemos mediante nuestra inteligencia... En cambio, el orden creado por la teoría de la gravitación de Newton, por ejemplo, es completamente diferente. Incluso si los axiomas de la teoría son propuestos por el hombre, el éxito de tal proyecto presupone un alto grado de orden en el mundo objetivo, y esto no podría esperarse a priori. Ese es el “milagro” que se refuerza constantemente a medida que nuestro conocimiento se expande». [i]

La cuestión sigue siendo objeto de debate. En 2015, el Foundational Questions Institute, una organización independiente y sin fines de lucro dedicada a la exploración de cuestiones fundamentales de la física y la cosmología, patrocinó un concurso de ensayos titulado «Truco o Verdad: La misteriosa conexión entre la física y las matemáticas», inspirado en el artículo de Wigner, cuyo objetivo era abordar la pregunta: ¿Por qué parece existir una misteriosa conexión entre la física y las matemáticas? [ii] En su contribución, el filósofo de la física Tim Maudlin sostiene que incluso la aplicabilidad de las matemáticas elementales, como la aritmética y la geometría, requiere una explicación. [iii]

Pero todo esto es, en realidad, irrelevante. El argumento de Wigner no se centraba en la aplicabilidad de las verdades necesarias de las matemáticas elementales. Más bien, su preocupación principal residía en las matemáticas elegantes que se expresan en las leyes de la física. Estas leyes físicas no son lógicamente necesarias, sino contingentes. El universo no tenía por qué ser descriptible mediante las impresionantes y asombrosamente precisas leyes descubiertas por el físico-matemático. Al describir la naturaleza a priori de la investigación matemática —en especial de aquellas matemáticas tan valiosas en la física—, Wigner escribe:

«Si bien es indudable que los conceptos de las matemáticas elementales, y en particular de la geometría elemental, se formularon para describir entidades directamente sugeridas por el mundo real, no parece ocurrir lo mismo con los conceptos más avanzados, en particular aquellos que desempeñan un papel tan importante en la física. [...] La mayoría de los conceptos matemáticos más avanzados, como los números complejos, las álgebras, los operadores lineales o los conjuntos de Borel —y esta lista podría continuar casi indefinidamente—, fueron concebidos de tal manera que constituyen temas propicios para que el matemático demuestre su ingenio y sentido de la belleza formal». [iv]

Al utilizar como ejemplos leyes de la naturaleza que son matemáticamente asombrosas y avanzadas, Wigner ya había llevado la cuestión a un plano superior.

Según Mark Steiner, en su excelente libro The Applicability of Mathematics as a Philosophical Problem, los físicos no ven ninguna dificultad en la aplicabilidad de la aritmética al mundo, pues esto es solo una cuestión de lógica, no de física; más bien, se concentran en la aparentemente milagrosa idoneidad de conceptos físicamente carentes de sentido, como el álgebra matricial o los espacios de Hilbert, para la mecánica cuántica. [v] El propósito del libro de Steiner es proporcionar numerosos ejemplos de la aplicabilidad de conceptos matemáticos que no pueden instanciarse físicamente. [vi] Algunos de sus ejemplos coinciden con los que ya señalaba Wigner, como la aplicabilidad descriptiva de las funciones analíticas de variables complejas; el uso que Heisenberg hace de la mecánica matricial en sus ecuaciones clásicas —un procedimiento para el cual, según Steiner, «no existe una justificación física» y que sustituye todas las variables por matrices «que carecen de significado físico»—; y la aplicabilidad descriptiva del formalismo del espacio de Hilbert a la mecánica cuántica, que Steiner califica como «físicamente ininteligible». Así pues, incluso si el universo físico tuviera necesariamente alguna estructura matemática, ello no resuelve la cuestión planteada por Wigner.

Islami y Wiltsche, poco afines al teísmo filosófico, concluyen: «Ante esta situación, parecen existir dos opciones: o admitimos que la situación es, en efecto, sumamente misteriosa; o inferimos abductivamente que debió existir una armonía preestablecida». [vii] Wigner se inclinó por la primera opción. Steiner, en cambio, aboga por la segunda, argumentando que deberíamos aceptar que el nuestro es un «universo fácil de usar», especialmente adaptado al funcionamiento de la mente humana y, por ende, al razonamiento matemático. Islami y Wiltsche reflexionan con acierto: «El 'antropocentrismo' de Steiner recuerda la antigua idea racionalista de que forma parte de la creación de Dios haber hecho que el mundo y nuestras mentes se ajustaran a la perfección». [viii] El gran físico Paul Dirac describió la situación de la siguiente manera: «Quizás se podría describir diciendo que Dios es un matemático de altísimo nivel, y que utilizó matemáticas muy avanzadas para construir el universo». [ix]

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[i] Albert Einstein, carta a Maurice Solovine, 30 de marzo de 1952, en Albert Einstein, Letters to Solovine, con introducción de Maurice Solovine, trad. de Wade Baskin (Nueva York: Philosophical Library, 1987), pp. 132-133. Agradezco a Melissa Cain Travis por esta referencia.

[ii] Anthony Aguirre, Brandon Foster y Zeeya Merali, eds., Trick or Truth?: The Mysterious Connection Between Physics and Mathematics, Colección Frontiers (Cham, Suiza: Springer, 2016).

[iii] Tim Maudlin, “How Mathematics Meets the World”, en Trick or Truth?, pp. 92-94. De manera similar, el matemático Richard Hamming se sorprende de que los números nos sirvan para contar cosas en la realidad (RW Hamming, “The Unreasonable Effectiveness of Mathematics”, American Mathematical Monthly 87/2 [febrero de 1980], p. 84). El filósofo de la física Arezoo Islami considera muy apropiada la sorpresa de Hamming: «Si no fuera el caso de que los cuerpos fueran razonablemente estables, no seríamos capaces de abstraer números y la aritmética perdería su aplicación» (Arezoo Islami, “The Unreasonable Effectiveness of Mathematics: From Hamming to Wigner and Back Again”, Foundations of Physics 52 [2022]: 72ss).

[iv] Eugene Wigner, “The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences,” en Communications in Pure and Applied Mathematics 13/1 (Nueva York: John Wiley & Sons, 1960), pp. 2-3.

[v] Mark Steiner, The Applicability of Mathematics as a Philosophical Problem  (Cambridge, Mass.: Harvard University Press, 1998), pp. 15, 27.

[vi] Véase Steiner, Applicability of Mathematics, pp. 36-40, 95-97, 102.

[vii] A. Islami y H.A. Wiltsche,  “A Match Made on Earth: On the Applicability of Mathematics in Physics,” en Phenomenological Approaches to Physics, ed. H.A. Wiltsche y P. Berghofer, Synthèse Library 429 (Cham, Suiza: Springer, 2020).

[viii] Islami y Wiltsche, “Match Made on Earth”. Cierto: ¡realmente fue una unión hecha en el cielo!

[ix] P.A.M. Dirac, “The Evolution of the Physicist’s Picture of Nature,” Scientific American 208/5 (mayo de 1963), p. 53.