#12 Formar un Infinito Real por Adición Sucesiva

Respuesta de Dr. Craig

¡Bueno, Michael, yo obviamente comparto su intuición! Básicamente, usted está preguntando acerca de la garantía de la premisa (1). Encontrará que a medida que usted reflexiona sobre la idea de formar una colección realmente infinita de cosas por adición sucesiva, la tarea parece imposible. ¿Quiere usted saber si podemos descomprimir esta intuición un poco más para ver el por qué esta tarea es imposible.

En el caso de empezar con alguna cantidad finita y añadirle cantidades finitas a ella, podemos identificar el problema claramente: ya que cualquier cantidad finita más otra cantidad finita siempre resulta en una cantidad finita, nunca vamos a llegar al infinito, aún si seguimos añadiendo para siempre. El infinito en este caso sólo sirve como un límite que nunca alcanzamos.

Lo que llega a ser verdaderamente desconcertante, aún alucinante, es la sugerencia de que podemos, mediante la adición de sólo cantidades finitas, formar una cantidad o colección infinita—es decir, una colección específica de tarjetas de béisbol—¡sin nunca comenzar, pero que termina en algún tiempo! Aquí la imposibilidad no se puede analizar como que se debe a la imposibilidad de añadir cantidades finitas a cantidades finitas y obteniendo una cantidad infinita, ya que en este caso la cantidad a la que las adiciones finitas se están haciendo siempre es (y ya es) infinita. Estamos agregando sucesivamente cantidades finitas a una cantidad que ya es infinita, así que por supuesto la suma es una cantidad infinita. Aquí el infinito no está funcionando como un mero límite sino como una colección de elementos concretos.

Ahora observemos que uno todavía no ha explicado cómo podemos formar nuestra colección infinita de tarjetas de béisbol por adición sucesiva, ya que en cada tiempo en el pasado la colección es ya infinita, y sin embargo, la colección total aún no ha sido formada. La colección total no será formada hasta que la última tarjeta sea añadida. Desde cualquier punto en el pasado uno necesita añadir sólo un número finito de tarjetas para completar la colección. Pero eso deja sin resolver el problema de cómo la colección infinita completa podría haber sido formada por adición sucesiva.

Aquí está el problema, me parece que para que la colección sea completada, ya debimos haber enumerado, una a la vez, un número infinito de tarjetas anteriores. Pero antes de que la última tarjeta pueda ser añadida, la tarjeta inmediatamente anterior a ella tendría que ser añadida, y antes de que esa tarjeta pueda ser añadida, la tarjeta inmediatamente anterior a ella tendría que ser añadida y así sucesivamente añadir ad infinitum. Así que uno es impulsado hacia atrás y de regreso al pasado infinito, lo que hace imposible para que cualquier tarjeta sea añadida a la colección.

Esta forma de plantear el argumento es similar al argumento de Zenón de que antes de que Aquiles pudiera cruzar el estadio, él tenía que cruzar la mitad de camino, pero antes de que pudiera cruzar la mitad de camino, el tenía que cruzar una cuarta parte del camino, pero antes de que pudiera cruzar una cuarta parte del camino, tenía que cruzar una octava parte del camino, y así sucesivamente hasta el infinito. Por lo tanto, Aquiles no podía llegar en ningún punto. La paradoja de Zenón se resuelve observando que los intervalos recorridos por Aquiles son potenciales y desiguales. Zenón presupone gratuitamente de que cualquier intervalo finito está compuesto de un número infinito de puntos, mientras que los opositores de Zenón, como Aristóteles, tomaron el intervalo como un total para ser conceptualmente anterior a cualquier división que podríamos hacer en este. Además, los intervalos de Zenón, siendo desiguales, se suman a una distancia meramente finita. Por el contrario, en el caso de un pasado infinito los intervalos son reales e iguales y se suman a una distancia infinita.

Lo mejor que el crítico del argumento puede hacer en este punto, creo yo, es decir que si uno agrega tarjetas a una velocidad de, por ejemplo, una tarjeta por segundo, entonces la colección se puede completar porque ha habido un número infinito de segundos en el pasado sin comienzo. Pero está claro que esta respuesta sólo empuja el problema un poco mas hacia atrás: por lo que la pregunta entonces es, ¿cómo puede la colección infinita de segundos pasados estar formada por adición sucesiva? ya que antes de que el segundo presente pudiera transcurrir, el anterior tendría que haber transcurrido, y así sucesivamente, como antes. Debido a que el problema es aplicable al tiempo mismo, no puede resolverse recurriendo a un tiempo pasado infinito.

Por supuesto, los defensores de una teoría estática o atemporal del tiempo negaran que los momentos del tiempo realmente transcurrieran, pero luego su objeción es en realidad a la premisa (2). No, a la premisa (1).

Si uno todavía no está convencido por este argumento, entonces yo ofrecería una defensa adicional de la premisa (1) al argumentar que si un infinito real podría estar formado por adición sucesiva, entonces varias cosas absurdas resultarían. Consideremos el escenario imaginado por al-Ghazali de que nuestro sistema solar existe desde la eternidad pasada, con los períodos orbitales de los planetas siendo tan coordinados que por cada órbita que Saturno completa, Júpiter completa 2.5 veces más. Si ellos han estado en órbita desde la eternidad, ¿cuál planeta ha completado la mayor cantidad de órbitas? La respuesta matemática correcta es que han terminado precisamente el mismo número de órbitas. Pero eso parece absurdo. Pensemos sobre esto: mientras más tiempo Júpiter y Saturno giran, mayor se hace la disparidad entre ellos, de modo que se acercan progresivamente a un límite en el que Júpiter ha caído infinitamente detrás de Saturno. Sin embargo, siendo ahora realmente infinito, el número de sus respectivas órbitas completadas por arte de magia es idéntico. De hecho, ellos habrán "alcanzando" la infinidad desde la eternidad pasada: el número de órbitas completadas es siempre el mismo. Así que Júpiter y Saturno han completado cada uno un número infinito de órbitas, y ese número se ha mantenido igual y sin cambiar desde toda la eternidad, a pesar de sus revoluciones en curso y la disparidad creciente entre ellos sobre cualquier intervalo finito de tiempo. Esto me parece una locura.

Esto se pone aún peor. Supongamos que nos encontramos con un hombre que afirma haber estado contando regresivamente desde el infinito y que ahora está terminando. . ., -3, -2, -1, 0. Podríamos preguntar, ¿por qué no terminó de contar ayer o el día anterior o el año anterior? Para entonces, un tiempo infinito ya había transcurrido, de modo que ya debió haber terminado. ¡Por lo tanto, en ningún punto en el pasado infinito podríamos llegar a encontrar al hombre terminando su cuenta regresiva, ya que para ese punto él ya debió haber terminado! De hecho, no importa que cuan lejos hayamos ido en el pasado, nunca podemos encontrar al hombre, ya que a cualquier punto que lleguemos él ya habrá terminado. Pero si en ningún punto en el pasado lo encontramos contando, esto contradice la hipótesis de que él ha estado contando desde la eternidad. Esto muestra una vez más que la formación de un infinito real sin nunca comenzar, pero llegando a un final es tan imposible como comenzar en un punto y tratar de alcanzar la infinidad.

Por lo tanto, en defensa de la premisa (1), ofrezco tanto el argumento directo en contra de la posibilidad de formar un infinito real al nunca comenzar, pero terminando en un punto y los argumentos indirectos, reductio, de que si se niega la premisa (1), entonces varias cosas absurdas se deducen.