#39 Trabajo Actual Acerca de Dios y los Objetos Abstractos

Respuesta de Dr. Craig

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¡Increíble! ¡Estoy impresionado con su familiaridad con algunas de las cosas que he escrito sobre este tema! Antes de responder a su pregunta, permítanme traer al día a aquellos lectores que no están familiarizados con este debate como lo está usted.

Un buen lugar para empezar es de hacernos la pregunta: “¿Existe el número 3?" De hecho, puede haber tres manzanas, por ejemplo, sobre la mesa, pero aparte de las manzanas ¿el 3 en sí existe? No estamos preguntando si el número o el dígito "3" existe (el símbolo prestado de los Árabes para representar la cantidad tres). Más bien, nos estamos preguntando si el número 3 en sí existe. ¿Existen tales cosas como los números? ¿Realmente existen los números?

Algunas personas podrían pensar que esta pregunta es tan superficial como para que sea completamente irrelevante. Pero, de hecho, ella plantea un problema teológico fundamental, cuya importancia difícilmente podría ser exagerada, ya que si decimos que los números sí existen, ¿de dónde vienen? La teología cristiana nos exige decir que todo lo que existe aparte de Dios fue creado por Dios (Juan 1:3). Pero los números, si es que existen, son casi siempre considerados como seres necesarios. Por lo tanto, parecen existir independientemente de Dios. Esta es la visión llamada “Platonismo”, a la cual se le llama así en nombre del filósofo griego Platón.

Alguien podría tratar de evitar este problema adoptando un platonismo modificado, según el cual los números eran necesario y eternamente creados por Dios. Pero luego surge una circularidad viciosa: explicativamente antes de que Dios creara el número 3, ¿No era el caso de que el número de personas en la Trinidad era 3? Por supuesto. Pero entonces, el número 3 existía antes que Dios creara el número 3, lo que es imposible!

Recuerdo la sensación de pánico que sentí en mi pecho cuando me escuché por primera vez que se planteó esta objeción en una conferencia de filosofía en Milwaukee. Parecía ser una refutación absolutamente decisiva del teísmo. No veía ninguna salida.

La salida, descubrí, es de negar la visión platónica de que existen los objetos abstractos como números. Mi primera inclinación fue adoptar algún tipo de conceptualismo que interprete los objetos abstractos como ideas en la mente de Dios. Esto todavía podría ser el camino que tomaré, pero mientras más estudiaba el problema, lo más atraído estuve a varias visiones Nominalistas o antirrealistas de los objetos abstractos que rotundamente negaban su existencia en vez de re-interpretar su existencia en términos de realidades conceptuales. Como usted señala, el conceptualismo parece ser un tipo de realismo que identifica los números con pensamientos en la mente de Dios. Tales pensamientos son objetos concretos, no abstractos, a pesar de que son inmateriales. Esa identificación parece ser problemática en varias maneras, que no es necesito discutir aquí. Si, por otro lado, el conceptualista no considera los números como verdaderos pensamientos de Dios, entonces él realmente parece apoyar alguna visión antirrealista como el Ficcionalismo.

Así que ¿por qué deberíamos pensar que los objetos abstractos como los números no existen? El único argumento a favor del platonismo es el llamado el “Argumento de la Indispensabilidad”, inspirado por el difunto W. V. O. Quine. Quine se sintió obligado a dejar entrar los objetos matemáticos, específicamente los conjuntos, en su ontología (el relato personal de lo que existe) porque él pensaba que la verdad de nuestras mejores teorías científicas nos comprometerían con su realidad. El argumento de Quine estaba predicado sobre varias tesis diferentes:

El naturalismo asegura que no hay fundamentos metafísicos, extracientíficos para rechazar la existencia de objetos matemáticos. Lo que la ciencia requiere para ser real es ser real, y punto. La Tesis de la Indispensabilidad se encuentra en el corazón de cada versión del argumento. Es fundamentalmente la afirmación de que la cuantificación de las entidades matemáticas en nuestras mejores teorías científicas no puede ser parafraseada completamente. Quine admite que las declaraciones del lenguaje ordinario, si se toman a pie de la letra, involucrarían una cuantificación de pseudo-objetos, y por lo tanto, la necesidad de una formulación canónica de las declaraciones de una teoría científica, asegurando que sus compromisos ontológicos son irreductibles. El Criterio de Compromiso Ontológico de Quine no es un criterio de existencia per se, sino que nos dice lo que debe existir para que una declaración canónica sea verdadera. Dado el Naturalismo, únicamente estaremos comprometidos ontológicamente por cualquier declaración en nuestras mejores teorías científicas que sea verdadera. Por último, el Holismo Confirmacional asegura de que las declaraciones matemáticas indispensables de las teorías científicas verdaderas son en sí mismas verdaderas ya que cualquier evidencia que sirva para confirmar la veracidad de la teoría en su totalidad sirve también para confirmar cada declaración que la compone. Como los enunciados matemáticos de una teoría científica son verdaderos e indispensables, estamos comprometidos ontológicamente por esas teorías con los objetos matemáticos cuantificados. Por lo tanto, la ciencia moderna nos obliga a creer en la existencia de los objetos matemáticos.

Cada una de estas tesis de Quine es altamente controvertida y ninguna de ellas, creo mucho menos todas ellas, es plausiblemente verdadera. Compartiré algunos de los resultados de mi reciente lectura sobre estos temas. Me disculpo de antemano por la naturaleza altamente técnica de la discusión.

1. Aunque la epistemología naturalizada de Quine se ha convertido ampliamente influyente, su Naturalismo, al no estar en sí entre las deliberaciones de la ciencia natural, no se puede justificar racionalmente. La única versión del Naturalismo que es auto-referentemente coherente—como lo demuestra Michael Rea (en el World without Design: The Ontological Consequences of Naturalism [El Mundo sin Diseño: Las Consecuencias Ontológicas del Naturalismo], publicado por Clarendon Press en el 2002, páginas 50-73) es aquella que toma el Naturalismo como una disposición de aceptar las deliberaciones de las ciencias naturales como verdaderas. Sin embargo, algunas personas podrían estar diferentemente dispuestas, estando preparadas por ejemplo, a aceptar también la intuición racional o la revelación divina como guías a la verdad. Nadie está obligado a hacer propia la disposición personal de Quine. Alguien que no sea un naturalista podría atreverse a desafiar los compromisos de incluso nuestras mejores teorías científicas. En este caso, como filósofo cristiano, pienso que tenemos buenas razones teológicas para rechazar el platonismo, sin importar los compromisos ontológicos que nuestras teorías científicas pudieran llevar. Además, irónicamente, cuando es interpretado platónicamente, el naturalismo de Quine paraliza la matemática ya que ese fragmento de la ciencia matemática, el cual la ciencia natural requiere, es una parte infinitesimal del universo de discurso de la matemática.

2. La Tesis de la Indispensabilidad ha sido criticada por varios motivos. La crítica de Charles Chihara han sido especialmente devastadoras (Ontology and the Vicious Circle Principle [La Ontología y el Principio del Círculo Vicioso], publicado por Cornell University Press en el 1973, capítulo 3). Él señala que Quine no proporciona mucho como pista en cuanto a lo que es una oración formulada canónicamente ni un procedimiento para obtener una, mucho menos una garantía de que los enunciados de las teorías científicas no pueden ser formulados canónicamente a fin de eliminar todos los objetos pseudo-cuantificados en el lenguaje ordinario. Sin este procedimiento, la propuesta de Quine aun ni siquiera puede despegar de la tierra. Además, Quine sólo supone que nuestras mejores teorías científicas, todas, pueden estar formuladas adecuadamente en la lógica de primer orden, lo cual parece muy dudoso también. La lógica modal, la lógica temporal y la lógica contra-fáctica parecen probable que sean necesarias para comprender adecuadamente el contenido teórico de la ciencia natural. Dado que el Criterio de Compromiso Ontológico de Quine fracasa en esos contextos, el Criterio será incapaz de revelar con precisión los compromisos ontológicos de estas teorías.

Por último, el Constructivismo de Chihara recupera la matemática clásica sin cuantificar las entidades matemáticas. Esta hazaña se logra al reformular el conjunto común de la teoría de Zermelo-Fraenkel, reemplazando el cuantificador existencial "∃" (que significa "hay ..."), con lo que Chihara llama “cuantificador de constructibilidad”, de modo que las afirmaciones se reemplazan con afirmaciones acerca de lo que se puede construir. El cuantificador de constructibilidad se considera como primitivo, a pesar de que Chihara utiliza la semántica de mundos posibles meramente como un instrumento heurístico. Lo que se puede construir en la teoría de Chihara son ciertos símbolos de proposiciones abiertas—es decir, signos oracionales que contienen variables sueltas o libres—y las afirmaciones de los conjuntos de membresías se reescriben como aseveraciones acerca de alguna oración abierta que satisface un individuo. Chihara no afirma que su semántica representa cómo los matemáticos realmente entienden su lenguaje ni que debería sustituir al lenguaje matemático estándar, sino que este sólo muestra cómo los enunciados matemáticos podrían ser considerados como verdaderos sin ningún compromiso ontológico a los objetos abstractos.

De la misma manera, el Estructuralismo Modal de Geoffrey Hellman evita exitosamente la cuantificación de los objetos matemáticos (Mathematics without Numbers: Toward a Modal-Structural Interpretation [Matemática sin Números: Hacia una interpretación modal-estructural] publicado por Oxford University Press en el 1989). El estructuralismo toma su inspiración de la idea de que sólo las propiedades matemáticamente relevantes de los números son sus propiedades relacionales. Por lo tanto, las propiedades intrínsecas de los números naturales pueden ser ignoradas en favor de la estructura abstracta y ordinal que ellos ejemplifican. Es matemáticamente irrelevantes qué tipos de objetos llenan las posiciones en dicha estructura ordinal. Por lo tanto, realmente no necesitamos ningún número. Para evitar el compromiso ontológico con las estructuras abstractas, Hellman afirma únicamente la posibilidad lógica de esas estructuras. Por lo tanto, los enunciados matemáticos no implican la cuantificación de los objetos o de las posiciones en cualquier estructura ordinal real, ya que es solamente la posibilidad de los objetos estructuralmente interrelacionados o las posiciones, la cual es considerada.

3. El Criterio del Compromiso Ontológico de Quine es quizás la plataforma más vulnerable en su argumento. Para comenzar, todos admiten que la frase "hay/existe" (la cual es simbolizada por el cuantificador existencial "∃") no es ontológicamente comprometedora en el lenguaje ordinario. Decimos cosas como: "Hay diferencias profundas entre los Republicanos y los Demócratas" o "Hay una falta de integridad en su comportamiento", ¡sin pensar que nos estamos comprometiendo a incluir cosas como las diferencias y deficiencias en nuestra ontología! Este punto no puede ser exagerado. La cuantificación existencial en el lenguaje ordinario no puede ser racionalmente considerado para comprometernos ontológicamente con los puntos que están siendo cuantificado. Quine, por supuesto, reconoce esto. Pero insiste en que una vez las oraciones de nuestras mejores teorías científicas se hayan puesto en una forma canónica y se hayan simbolizado en la lógica de primer orden, entonces estamos comprometidos con cualquier punto del cuantificador existencial. Ya señalé que Quine ni siquiera da una pista en cuanto al procedimiento para poner las oraciones del lenguaje ordinario en forma canónica, ni ningún argumento que al nosotros hacerlo vaya a deshacerse de todos los indeseados compromisos del lenguaje ordinario ni tampoco alguna garantía de que nuestras mejores teorías científicas pueden estar simbolizadas con éxito en la notación de la lógica de primer orden.

Sin embargo, incluso si fuésemos a tener éxito en llevar acabo el procedimiento de Quine, la pregunta de si estamos o no ontológicamente comprometidos con los valores de las variables vinculadas por cuantificador existencial depende completamente de nuestra interpretación de "∃". ¿Por qué pensar que este cuantificador tiene algún significado diferente o conlleva alguna fuerza ontológica más que el "hay" en el lenguaje ordinario?

Los filósofos típicamente han discriminado entre dos interpretaciones del cuantificador existencial: la objetual (o de referencia) y la sustitucional. La interpretación objetual del cuantificador la concibe como algo que abarca un dominio de objetos y que selecciona algunos de esos objetos como los valores de las variables limitadas por él. La interpretación sustitucional considera la variable como un tipo de dador de lugar para expresiones lingüísticas particulares que pueden ser sustituidas para formar proposiciones. La interpretación sustitucional generalmente no es reconocida como ontológicamente comprometedora. Pero Jody Azzouni señala que incluso la interpretación objetual del cuantificador no es ontológicamente comprometedora hasta que alguien la estipula de esa manera (Deflating Existential Consequences: A Case for Nominalism [Desmoralizando la Consecuencia Existencial: Un Caso para el Nominalismo] publicado por Oxford University Press, 2004, página 54). La afirmación de que éste debe ser ontológicamente comprometedor pasa por alto el hecho de que los cuantificadores del metalenguaje utilizado para establecer el dominio de los cuantificadores de la lengua objeto son igualmente ambiguos. Si los artículos en el dominio D del objeto cuantificador de lenguaje realmente existe o no es algo que va depender de cómo la persona interprete el "hay" del metalenguaje que establece a D. Incluso el uso referencial del cuantificador en la lengua objeto no necesita ser ontológicamente comprometedor si los cuantificadores en el metalenguaje no son ontológicamente comprometedores. Si cuando decimos que hay un elemento en D estamos utilizando un lenguaje ordinario, entonces no estamos comprometidos con la realidad de los objetos que están en D, los cuales cuantificamos. (Si lo tuviésemos, entonces la paradoja resultaría de que una teoría ya nos compromete ontológicamente por el dominio mismo con los objetos que se encuentran en él, de modo que el criterio de Quine llega a ser totalmente superfluo). No hay ninguna razón por la que uno no pueda establecer una esfera totalmente imaginaria cómo dominio de cuantificación de uno. D, entonces, no está vacía, pero la cuantificación objetual en la lengua del objeto del dominio no será ontológicamente comprometedora. El cuantificador existencial simplemente sirve para facilitar las inferencias lógicas.

Como quiera que eso podría ser, ¿por qué el Nominalista no puede adoptar una interpretación sustitucional del cuantificador existencial este cuando cuantifica los objetos abstractos? Si yo afirmo que (∃ x) Px, donde "P" representa el predicado "es un número primo", entonces puedo decir que "3" puede ser sustituido por x para producir la proposición verdadera "3 es un número primo" sin que así me comprometa ontológicamente a la realidad del 3. Si el 3 existe o no tendrá que ser decidido por los argumentos extralógicos y esto puede ser expresado por medio de la existencia de un predicado. Se podría objetar que esta apelación selectiva a una cuantificación sustitucional es ad hoc. Pero como explica Dale Gottlieb, su uso podría justificarse en el caso especial de la cuantificación de los objetos abstractos en vista de las consecuencias ontológicas casi mágicas que dicen asegurar la interpretación objetual (Ontological Economy: Substitutional Quantification and Mathematics [Economía Ontológica: Cuantificación Sustitucional y las Matemáticas] publicado por Oxford University Press en el 1980, página 53-54). Por ejemplo, de la proposición "Hay tres manzanas sobre la mesa" se deduce inmediatamente que "el número de manzanas sobre la mesa es de 3", ¡lo cual, en el criterio de Quine, nos compromete ontológicamente con la existencia del 3! ¡Descubrir que lo que existe no debería ser así de fácil! Tomar el cuantificador tan “sustitucionalmente” impediría derivar una ontología por el uso de meras palabras. Por lo tanto, para que el Argumento de la Indispensabilidad tenga éxito, uno tendría que demostrar que el cuantificador no puede ser considerado tan sustitucional, lo que quiere decir en el juicio de Gottlied que es algo "casi imposible de establecer" (Ibid., p. 50).

Aun hay otra opción presentada por Stephen Yablo, quien se ha movido del Ficcionalismo, el cual acepta el Criterio de Quine, a lo que él llama “Figuralismo”, con el fin de preservar la verdad de los discursos acerca de los objetos abstractos sin comprometerse ontológicamente ("Go Figure: A Path through Fictionalism, [Imagínese: Un Camino a través del Ficcionalismo]” en Figurative Language [Lenguaje Figurado], editado por Peter A. French y Howard K. Wettstein publicado por Blackwell en el 2001, páginas 72-102). Yabo estaba impresionado con las similitudes entre el discurso de objeto abstracto y el lenguaje figurado, como lo encontramos en eufemismo, la hipérbole, la metonimia y la metáfora. Una declaración como “¡Está lloviendo a cántaros!" Es literalmente falsa, pero detenerse allí es no captar el significado de este lenguaje por completo. Cuando una persona usa el lenguaje figurado, el contenido literal no es lo que está afirmando quien habla. Ahí está lo Yablo llama un "contenido real" para las declaraciones figuradas, las cuales bien podrían ser verdaderas. Esto no quiere decir que las declaraciones figuradas siempre se pueden parafrasear satisfactoriamente en expresiones de su contenido real. Los números podrían ser indispensables como ayudas representantes para la expresión del contenido real del lenguaje matemático. El contenido real de los enunciados matemáticos son verdades lógicas, por lo es que la matemática parece necesaria y a priori.

Yablo amplía su análisis para incluir otros tipos de discursos de objetos abstractos. Por ejemplo,

Las entidades que están a la derecha no son de lo que en realidad tratan las expresiones de la izquierda. Simulamos la creencia, tal vez un poco inconscientemente, de que las entidades a la derecha existen, pero son meras figuras retóricas, las cuales son vehículos del contenido real. El lenguaje figurado podría ser verdadero—ahí está la diferencia entre el Figuralismo y el Ficcionalismo—pero los recursos de representación que emplean no son comprometedores ontológicamente. A la luz de estas interpretaciones alternativas del cuantificador universal, el Criterio de Compromiso Ontológico de Quine parece no sólo ser no garantizado, sino que incluso engañoso e improbable.

4. El Holismo radical de Confirmación de Quine es una doctrina totalmente improbable. Elliott Sober, quien ha sido un crítico tenaz de esta tesis quineana, está de acuerdo de que las hipótesis científicas nunca se prueban de forma aislada, sino que lo hacen en conjunto con ciertas suposiciones auxiliares ("Quine’s Two Dogmas: Proceedings of the Aristotelian Society” [Las Dos Dogmas de Quine: Actas de la Sociedad Aristotélica], Supl. V. 74 [2000]: 237-280). Pero los científicos típicamente prueban una hipótesis contra otra hipótesis competidora que comparte el mismo conjunto de suposiciones auxiliares. Un observador O favorece la hipótesis H1 sobre la hipótesis H2, dadas las suposiciones A, sólo en caso Prob (O | H1 & A)> Prob (O | H2 & A). En ese caso, A no es probada y por lo tanto no es confirmada por O. Las matemáticas y la lógica son parte de los suposiciones de trasfondo comunes para todas las teorías y de ese modo no son confirmadas por la evidencia empírica de las teorías. Sober ataca de que el Holismo quineano parece ser culpable de pensar que porque O confirma H y H implica S, por lo tanto, O confirma S—eso es una inferencia falaz.

Otra señal adicional de que la matemática no ese confirma con la evidencia para una teoría científica es el hecho de que esta nunca se invalida por la evidencia en contra de una teoría. Sin embargo, la teoría de la confirmación requiere que si O confirma H, entonce no-O invalidaría a H. Una consecuencia aún más extraña del Holismo radical de Quine es que si creo en, por decir, la Relatividad Especial, entonces una confirmación de la Relatividad confirma todo lo que creo, sin importar lo poco relacionada que podrían estar con la teoría de la Relatividad. ¡El resultado inmediato es el relativismo, ya que si yo creo en X & Y y usted cree en X & no Y, entonces la confirmación de X confirma Y para mí, pero confirma no Y para usted!

El mismo Quine luego se retiró desde este holismo radical a la posición de que meramente conjuntos de creencias “bastantemente grandes” están sujetas a ser confirmaciones, en vez de un sistema completo de creencia de una persona. Sin embargo, este Holismo más moderado sigue siendo objeto de las críticas de Sober y, en cualquier caso, es demasiado débil para satisfacer el papel que juega el Holismo de Confirmación en el Argumento de la Indispensabilidad a favor de los objetos matemáticos. Sin la tesis Holista, los enunciados matemáticos puros en una teoría confirmada, por lo tanto, no son confirmados como verdaderos.

Esto le abre la puerta al Ficcionalismo, el cual sostiene que mientras el contenido nominalista de una teoría científica podría ser verdadero, el contenido matemático puro siendo una ficción útil, si se toma literalmente, es falso. Los ficcionalistas han tomado dos caminos para responder al Argumento de la Indispensabilidad. Un camino, tomado por Hartry Field (Science without Numbers [La Ciencia sin Números]publicado por Princeton University Press, en el 1980), es de desafiar la Tesis de la Indispensabilidad de que la matemática es indispensable para la ciencia y para proporcionar una versión nominalizada de una teoría científica en la que no se hace ninguna referencia a los objetos matemáticos. El segundo camino, adoptado por Mark Balaguer (Platonism and Anti-Platonism in Mathematics [El Platonismo y Anti-platonismo en Matemáticas] publicado por Oxford University Press en el 1998), es de aceptar la Tesis de la Indispensabilidad pero sostener que, a pesar de lo indispensable que las matemáticas podrían ser para la práctica científica, ello no contribuye nada de contenido a nuestro conocimiento del mundo y que el Platonismo no explica mejor su aplicabilidad. Ambos caminos están de acuerdo en que el contenido platónico de la ciencia empírica es ficticio y por lo tanto es falso.

Proposiciones como "2 + 2 = 4" son como los enunciados que tienen que ver con los personajes de ficción como "Papá Noel vive en el Polo Norte." Estas oraciones no se corresponden a la realidad porque tienen términos vacíos en ellos. Como ellos no corresponden a la realidad, son literalmente falsos. Como Papa Noel o Santa Claus no existe, él no puede vivir, literalmente, en el Polo Norte. Dado que no hay tales cosas como dos y cuatro, no es literalmente verdadero que cuatro es la suma de dos cantidades de dos. Lo que es verdadero decir, sin embargo, es que Papá Noel vive en el Polo Norte según el relato usual de Papá Noel. Él no reside, según ese relato en East Peoria. Del mismo modo, es verdadero que 2 + 2 = 4 según el relato estándar de las matemáticas. Esto salva al Ficcionalista de la vergüenza descaradamente declarar que "2 + 2 = 4" es falso, ya que él está de acuerdo en que esta declaración es verdadera en el modelo estándar de la aritmética. Sin embargo, él niega que ese modelo corresponde a alguna realidad independiente. Es un error pensar que la práctica matemática nos compromete con la verdad literal de las teorías matemáticas, ya que la pregunta ontológica sobre la realidad de los objetos matemáticos es una cuestión filosófica que la matemática misma no aborda. Como más, nuestra práctica nos compromete con sostener que ciertos enunciados son verdaderos según el relato estándar en el área relevante.

Kendall Walton, cuyo fascinante libro sobre la naturaleza de la ficción encuentra aplicaciones fuera de los campos literarios y artísticos, habla de las "verdades de ficción", las cuales son declaraciones consideradas verdaderas dentro de un juego de fantasía (Mimesis as Make–Believe [el Mimesis como un Juego de Ficción] publicado por Harvard Press en el 1990). Las verdades de ficción son generadas por una receta o mandato para imaginarse que algo es el caso. Los acuerdos que hacen los participantes en el juego de lo que se imaginan sirve como reglas para prescribir ciertas fantasías. Estas reglas están generando principios de un mundo ficticio en el cual ciertas proposiciones han de ser imaginadas como verdaderas. Walton enfatiza que ese entendimiento de las reglas del juego no podría ser consciente o explícito. "Podría estar tan arraigada que casi no nos damos cuenta de ello, que puede ser tan natural que es difícil imaginar que no lo tenemos" (Ibid., p. 41). Por lo tanto, uno podría involucrarse en el juego de fantasía sin tener la menor conciencia de ello.

Es difícil imaginar una aplicación no literaria más adecuada y plausible de la teoría Walton que la teoría infinita de conjuntos axiomatizados. Pronto se descubrió el concepto intuitivo de un conjunto empleado por Cantor para generar las paradojas de la ingenua infinita teoría de conjuntos y por lo tanto es insostenible. En lugar de adoptar una nueva comprensión del "conjunto", sus teóricos simplemente escogieron evitar las paradojas al dejar la noción de un conjunto indefinido, pero delinear varios axiomas que rijan el comportamiento de los conjuntos de modo que eviten que surjan las paradojas. Estos axiomas tienen poco que ver con la verdad intuitiva, ya que ni siquiera sabemos de que están hablando. Los axiomas de la teoría de conjuntos parecen, más bien, estar recetadas para que nos las imaginemos verdaderas. Estos axiomas, entonces, sirven como principios generadores para el universo de conjuntos. Dentro de este juego de fantasía, teoremas muy sorprendentes y asombrosos resultan siendo ficticiamente verdaderos. Es, por ejemplo, ficticiamente verdadero que el conjunto de números naturales y el conjunto de números pares tienen el mismo número de miembros, a pesar de que el conjunto de números naturales incluye todos los números pares más también un número igual e infinito de números impares. Además, como el mundo de la ficción, el universo descripto en la teoría de conjuntos infinitos está radicalmente incompleto. Así como no es ficcionalmente verdadero ni ficticiamente falso, por ejemplo, que Hamlet calza una talla 42 de zapatos, por lo que la Hipótesis del Continuo (HC)—la hipótesis de que la potencia del continuo es ℵ 1, el siguiente número cardinal transfinito más alto después de ℵ 0— no es ficticiamente verdadero ni ficticiamente falso, ya que se ha demostrado que es independiente de los axiomas de la teoría de conjuntos estándar. La afirmación realista de que la HC tiene que ser o verdadera o falsa suena extrañamente como la insistencia de que Hamlet debe utilizar un número de zapato o 42 o no. El teórico está libre, si él desea, de añadir HC o ¬HC a sus axiomas, por así decirlo, publicar una edición revisada de la historia y luego será generada toda una nueva serie de verdades ficticias. Al hacerlo, según destacó Walton, uno podría estar consciente o no de que está participando en un juego de fantasía.

Entonces el Holismo de Confirmación de Quine es completamente improbable y su rechazo le abre la puerta a la lectura Ficcionalista de las declaraciones de la matemática pura que emplea la ciencia.

En resumen, la abundancia de derrotadores Nominalistas del Argumento de la Indispensabilidad deja el problema del estatus ontológico de los objetos abstractos como los números, al menos, como una cuestión abierta y varios Nominalismos (por no hablar de Conceptualismo) como alternativas viables al Platonismo. Por lo tanto, estoy contento de decir de que, en esta área, ninguna objecion existosa al teísmo clásico parece surgir .